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CoCalc 網站 提供了線上計算的平台環境，作者致力於發展用電腦做數學運算，開發了 SageMath 這種數學計算程式。 在 CoCalc 網站中，除了提供 SageMath 的計算，也提供了 Python, R 等等計算環境。 登入 CoCalc 網站後，在首頁會有 Extensive ChatGPT Integration 的對話視窗，整合了 ChatGPT 與網站數學運算的功能。 我們也可以利用這個 ChatGPT 視窗，輸入文字提示指令來得到如何做數學計算。 例如輸入： “用 Python 畫出 y = x^2 + 3x + 1 = 0 的函數圖形。” 網站就會生成 Python 程式碼： import numpy as np import matplotlib . pyplot as plt x = np . linspace ( - 10 , 10 , 100 ) # Generate 100 points between -10 and 10 y = x ** 2 + 3 * x + 1 # Calculate y values plt . plot ( x , y ) plt . xlabel ( 'x' ) plt . ylabel ( 'y' ) plt . title ( 'Graph of y = x^2 + 3x + 1' ) plt . grid ( True ) plt . show ( ) SageMath 本身也是一個功能強大的數學計算軟體。我們來使用看看。在 CoCalc 的 ChatGPT 對話窗輸入： “用 SageMath 畫出 y = x^2 + 3x + 1 的函數圖形，並且求 x^2 + 3x + 1 = 0 的解。” 得到 SageMath 的程式碼，並且執行它： # Plot the graph of y = x^2 + 3x + 1 f ( x ) = x ^ 2 + 3 * x + 1 plot ( f , - 5 , 5 , ymin = - 5 , ymax = 20 , color = 'blue' ) # Solve the equati...

在 SymPy 做數學符號運算時，輸出的數學式預設是以文字或符號來表示。 例如，我們輸出以下的式子： from sympy import * # Define the variable x = Symbol ( "x" ) print ( sqrt ( x ** 2 - 5 ) / 3 ) sqrt(x**2 - 5)/3 在上面的輸出，Python 是以 sqrt() 代表平方根。 如果要以較直觀的數學式來呈現，可以用以下的方法，先將文字的數學式轉換成 LaTeX 格式，再以 Math() 產生較美觀的式子。 from sympy import * from IPython . display import Math , display # Define the variable x = Symbol ( "x" ) result = sqrt ( x ** 2 - 5 ) / 3 # 將文字數學式轉換為 LaTeX 格式 result_latex = latex ( result ) # 再以較美觀的數學式呈現 display ( Math ( result_latex ) ) \(\displaystyle \frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{3}\) 我們也可以把它應用在用 solve() 計算的方程式的答案。 from sympy import * from IPython . display import Math , display # Define the variable x = Symbol ( "x" ) # Create the equation equation = Eq ( x ** 2 - 5 * x + 8 , 0 ) # Solve the equation solution = solve ( equation , x ) print ( solution ) [5/2 - sqrt(7)*I/2, 5/2 + sqrt(7)*I/2] 原本的解是用文字表示，我們可以把它用更美觀的格式呈現。 # 將解轉換為...

AI 時代的電腦變得更人性化了。我們只要用適當的文字提示來問 AI 問題，就可以快速地得到程式碼，節省時間，也讓初學者可以更專注在要解決的計算問題上，而不用花太多時間一行一行寫程式。 Google Colab 的筆記本，搭配了 Colab AI 的對話窗。以下我們舉一個例子，說明如何用 Colab AI 自動生成 Python 程式碼。 問題： 求這個一元二次方程式的解： \(x^2 - 5x + 6 = 0\)。 我們可以在 Colab AI 的對話窗裡，輸入以下文字提示： “用 SymPy 求這個方程式的解：x**2 - 5*x + 6 = 0” Colab AI 就自動生成了程式碼，用滑鼠點程式碼右上角的小圖示「新增程式碼儲存格」，就會自動把程式碼複製到筆記本中。產生的程式碼如下： import sympy # Define the variable x = sympy . Symbol ( "x" ) # Create the equation equation = sympy . Eq ( x ** 2 - 5 * x + 6 , 0 ) # Solve the equation result = sympy . solve ( equation , x ) # Print the solutions print ( "The solutions are:" , result ) The solutions are: [2, 3] 上面的程式用了 sympy 裡的 solve() 函數來解方程式。透過 import sympy 匯入模組，在程式中要使用 sympy 中的函數時，都要在函數前面加上 sympy. ，這樣的好處是在程式中清楚指明了某個函數是用哪一個模組。避免同名函數的混淆。例如，在 sympy 模組裡有 sin() 函數，在 math 模組裡也有 sin() 函數。在 sympy 中有圓周率 pi ，在 math 中也有圓周率 pi 。分別計算如下： import sympy import math print ( sympy . sin ( pi / 6 ) ) print ( math . sin ( math . pi...

SymPy 模組是 Python 程式裡一個功能很強大的數學計算模組，可以做符號運算得到公式解，也可以做數值運算得到數值解。從基本的數學計算，到求方程式的解，算微積分，都可以用 SymPy 內的函數來計算。 在使用 SymPy 時，必需在程式的開頭引入 sympy 模組： from sympy import * 接下來，就可以使用 SymPy 的函數了。 SymPy 中常用的數學函數 分類 函數 描述 例子 基礎運算 simplify(expr) 簡化表達式 simplify(sin(x)**2 + cos(x)**2) → 1 expand(expr) 展開表達式 expand((x + 1)**2) → x**2 + 2*x + 1 factor(expr) 因式分解表達式 factor(x**2 - 2*x - 8) → (x - 4)*(x + 2) 代數 solveset(equation, var) 解方程式 solveset(x**2 - 4, x) → {-2, 2} 微積分 diff(expr, var) 對表達式進行微分 diff(sin(x), x) → cos(x) integrate(expr, var) 對表達式進行積分 integrate(exp(x), x) → exp(x) limit(expr, var, point) 計算表達式的極限 limit(sin(x)/x, x, 0) → 1 三角函數 sin(x), cos(x), tan(x) 三角函數 sin(pi / 2) → 1 asin(x), acos(x), atan(x) 反三角函數 asin(1) → π/2 指數對數 exp(x) 指數函數 exp(1) → E log(x, base) 對數函數， base 默認為 e log(e) → 1 在 SymPy 裡，圓周率 π 在 SymPy 裡是以 pi 來表示。自然對數的底數 e 是以 E 來表示。 在這裡，我們先介紹如何用 SymPy 內的函數來做三角函數，指數，和對數的計算。 例如，要計算 sin(30°)，...

Python 常用的數學函數列表 函數 描述 範例 math.sqrt(x) 開平方根 math.sqrt(16) → 4.0 math.pow(x, y) (x) 的 (y) 次方 math.pow(2, 3) → 8.0 math.sin(x) 正弦函數 math.sin(math.pi / 2) → 1.0 math.cos(x) 餘弦函數 math.cos(math.pi) → -1.0 math.tan(x) 正切函數 math.tan(math.pi / 4) → 1.0 math.asin(x) 反正弦函數 math.asin(1) → π/2 math.acos(x) 反餘弦函數 math.acos(1) → 0.0 math.atan(x) 反正切函數 math.atan(1) → π/4 math.exp(x) (e) 的 (x) 次方 math.exp(1) → 2.71828... math.log(x) 自然對數（以 (e) 為底） math.log(math.e) → 1.0 math.log10(x) 以 10 為底的對數 math.log10(100) → 2.0 math.factorial(x) (x) 的階乘 math.factorial(5) → 120 請注意，使用這些函數之前，需要在 Python 程式中引入 math 模組，即在程式的開頭加入 import math 。 import math 之後就可以使用這些函數。例如，要計算 2 的 4 次方： math . pow ( 2 , 4 ) 16.0 圓周率 π 在這裡是用 math.pi 表示： math . pi 3.141592653589793 自然對數的底數 e 是用 math.e 表示： math . e 2.718281828459045 三角函數的計算時，要注意角度是要用 弧度 (radian, rad ) 計算，不是用 度 (degree)。弧度的數學定義是：一個圓心角的弧度數等於該角所截取圓弧的長度與圓的半徑的比值。 一個半徑為 r 的圓形，...

Google Colab 是個線上編寫和執行 Python 程式的環境，並且有 Colab AI 可以協助程式碼的生成。用您個人的 Google 帳號登入 Colab 後，新增筆記本，命名檔案。檔案的名稱是 *.ipynb 的格式。若是在自己的電腦上，可以用 JupyterLab 來編輯這種筆記本檔案。 現在試著在 Colab 筆記本輸入簡單的四則運算，輸入完後，按 Shift + Enter，就會執行這個格子內的程式碼或算式。 例如： 1 + 2 3 7 * 3 21 30 / 7 4.285714285714286 20 - 8 12 現在，您也可以試著在 Colab 的筆記本練習輸入程式碼了。 在 Colab 筆記本裡，也可以新增編輯文字用的格子，文字編輯是用 Markdown 格式，並且有設定常用格式的工具列，和即時預覽視窗，非常方便。

Python 是一種功能很強大的電腦程式語言。在學習數學時，我們也可以把 Python 當做計算機來使用，做基本的加減乘除運算，代數運算，繪製函數圖形，或是計算方程式的解等等。 您或許會問：若是沒有學過寫程式，也可以用 Python 來計算數學嗎？ 在現在的 AI 工具輔助下，我們只要用文字敘述問題，AI 就會自動生成簡短的程式碼，所以對初學者來說，寫程式也變得很簡單了。這樣我們就可以專注在數學問題本身，而不用花太多時間記得程式碼的細節了。 以下就開始第一堂課吧！ 首先，我們必須要有一個 Python 運算和寫程式的環境，這裡我們介紹兩種適合初學者的 Python 計算環境： Google Colab 線上 Python 整合開發環境 Google Colab 是一種在線上就可以編寫、執行 Python 程式的環境，只要用原本個人的 Google 帳號登入 Google Colab，就可以開始使用。採用筆記本的形式，可以在同一個筆記本裡編寫文字和程式碼，並輸出，適合呈現與分享。而且可以跟 Colab AI 對話協助程式碼的生成，相當方便。 Spyder 個人電腦上的 Python 整合環境 Spyder 是個免費的 Python 開發環境，在 MS Windows，Macbook，或是 Linux 系統下都可以安裝使用。在個人的電腦上，下載並安裝 Anaconda 環境，即會自動安裝 Python 和相關的程式套作，就可以開始使用 Spyder 來編寫、執行 Python 程式。 在接下來的文章中，我們採用 Google Colab 的環境來示範。